टोकरी-हैंडल मेहराब ⇐ ड्राफ्ट लेख

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ज्यामिति में, ''बास्केट-हैंडल आर्च'' विषम संख्या में गोलाकार चापों द्वारा खींचा गया एक समतल वक्र है, जिसका उपयोग वास्तुकला और विशेष रूप से पुलों में किया जाता है। इस प्रकार, एक बास्केट-हैंडल आर्क एक वॉल्ट को परिभाषित करता है जिसका इंट्राडोस (क्रॉस-सेक्शन में देखने पर वॉल्ट की निचली रेखा) ऐसा वक्र बनाता है।

इसका आकार एक दीर्घवृत्त के समान है, जिसकी उत्पत्ति से लेकर शीर्ष तक, यानी लंबी धुरी के छोर से छोटी धुरी के शीर्ष तक निरंतर वक्रता भिन्नता होती है।

== इतिहास ==
रोमन काल से, ब्रिज वॉल्ट (वास्तुकला) | वॉल्ट को पूर्ण मेहराब के साथ बनाया गया है, जिससे पूर्ण अर्ध-परिधि बनती है। प्रारंभिक मध्य युग के बाद से, वृत्ताकार मेहराब, एक अपूर्ण अर्ध-परिधि, का उपयोग उन तहखानों को बनाने के लिए किया जाता था जो उनके उद्घाटन की ऊंचाई के आधे से भी कम थे
तोरण, जो तहखानों की अतिरिक्त ऊंचाई को कम करने के बजाय इसे बढ़ा देता है (क्योंकि शिखर आधे उद्घाटन से अधिक है), मध्य युग तक पुल निर्माण में उपयोग नहीं किया गया था।

टोकरी-हैंडल मेहराब पुनर्जागरण की शुरुआत में दिखाई दिया, जो गोल-धनुषाकार तिजोरी पर एक निर्विवाद सौंदर्य लाभ प्रदान करता है: तथ्य यह है कि इसके अंतिम मेहराब समर्थन के लिए लंबवत स्पर्शरेखा|स्पर्शरेखा हैं।
पोंट नेउफ़, टूलूज़|16वीं सदी में टूलूज़ में पोंट-नेउफ़ और अगली सदी में पोंट रॉयल के बराबर थी।

हालाँकि, लेआउट के असंतत होने के कारण भद्दे वाउसोइर दिखाई देने लगे, जिन्हें पुनर्स्थापना कार्य के दौरान हमेशा हटाया नहीं जा सकता था। ।

== तीन केंद्रों के साथ वक्रों का पता लगाना ==

=== प्राचीन अंडाकार ===
हालाँकि टोकरी-हैंडल आर्च का उपयोग प्राचीन इतिहास में पुल वाल्टों के लिए नहीं किया जाता था, लेकिन कभी-कभी इसका उपयोग अन्य वाल्टों के निर्माण में किया जाता था। और अलेक्जेंड्रिया के हीरो|अलेक्जेंड्रिया के हेरॉन (जिन्होंने हमारे युग से एक सदी से भी पहले अपने गणितीय ग्रंथ लिखे थे) ने पहले ही इसका पता लगाने के लिए एक सरल विधि परिभाषित कर दी थी
यदि एबी निर्मित होने वाली तिजोरी की चौड़ाई है, इसकी ऊंचाई (या उत्थान, या शिखर) अनिश्चित है, तो हम एबी पर अर्ध-परिधि का वर्णन करते हैं, और इसके बिंदु सी के माध्यम से, ऊर्ध्वाधर ओसी पर लिया जाता है, हम खींचते हैं स्पर्शरेखा एमएन, जिस पर हम लंबाई सेमी और सीएन को आधी त्रिज्या के बराबर लेते हैं। एमओ और एनओ को जोड़कर, हम बिंदु डी और ई निर्धारित करते हैं, जिसके माध्यम से हम समद्विबाहु त्रिभुज डीओई का पता लगाते हैं, जिसका आधार ऊंचाई के बराबर है। एक बार यह हो जाने के बाद, हम रेखा DA लेते हैं, इसे चार बराबर भागों में विभाजित करते हैं, और विभाजन के बिंदुओं a, b, c के माध्यम से DO के समानांतर रेखाएँ खींचते हैं। वे बिंदु जहां ये समानताएं क्षैतिज अक्ष एबी और विस्तारित ऊर्ध्वाधर अक्ष सीओ को काटती हैं, वे केंद्र देते हैं, हमें एबी पर 3 केंद्रों के साथ विभिन्न वक्रों का पता लगाने की आवश्यकता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। इन वक्रों को हम आम तौर पर प्राचीन अंडाकार कहते हैं.
चूंकि पुल निर्माण में बास्केट-हैंडल आर्च का व्यापक रूप से उपयोग किया गया है, इसलिए इसका पता लगाने के लिए प्रस्तावित प्रक्रियाएं कई गुना बढ़ गई हैं और केंद्रों की संख्या में वृद्धि हुई है। निम्नलिखित इन प्रक्रियाओं में सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली प्रक्रियाओं का संक्षिप्त विवरण है
लक्ष्य एक सुंदर रूपरेखा के साथ पूरी तरह से निरंतर वक्र बनाना था। समस्या की अनिश्चित प्रकृति के कारण, कुछ शर्तें इस धारणा पर मनमाने ढंग से लागू की गईं कि वे अधिक विश्वसनीय रूप से वांछित परिणाम की ओर ले जाएंगी।

कभी-कभी, उदाहरण के लिए, यह स्वीकार किया गया कि एक वृत्त के विभिन्न चाप, जिनसे वक्र बना है, केंद्र पर समान कोणों के अनुरूप होने चाहिए; कभी-कभी इन आंशिक चापों को समान लंबाई का माना जाता था; या फिर, या तो कोणों के आयाम या क्रमिक किरणों की लंबाई को कुछ अनुपातों के अनुसार बदलने की अनुमति दी गई थी।

इसके अलावा, यह हमेशा स्वीकार किया गया है कि आर्क के निचले हिस्से और इंट्राडोस वक्र का पता लगाने के लिए उपयोग किए जाने वाले केंद्रों की संख्या के बीच एक निश्चित अनुपात बनाए रखा जाना चाहिए, इस प्रकार टोकरी-हैंडल आर्क के लिए गोलाकार आर्क के लिए कम किया जा रहा है। वृद्धि और उद्घाटन का अनुपात, यानी अनुपात b/2a से, जहां b वृद्धि है और 2a मेहराब की चौड़ाई है।

यह अनुपात एक-तिहाई, एक-चौथाई, एक-पांचवां या उससे कम हो सकता है, लेकिन जैसे ही यह एक-पांचवें से नीचे आता है, गोलाकार चाप को आम तौर पर टोकरी-हैंडल आर्क या दीर्घवृत्त के लिए प्राथमिकता दी जानी चाहिए। अधिक ढलान के साथ, कम से कम पाँच केंद्र रखना एक अच्छा विचार है, और हमने कभी-कभी ग्यारह तक की अनुमति दी है, जैसा कि न्यूली-सुर-सीन | न्यूली ब्रिज के वक्र के मामले में, या यहाँ तक कि उन्नीस तक की अनुमति है साइनैक ब्रिज. चूंकि केंद्रों में से एक हमेशा ऊर्ध्वाधर अक्ष पर होना चाहिए, और अन्य को दाएं और बाएं समान संख्या में सममित रूप से व्यवस्थित किया जाना चाहिए, कुल संख्या हमेशा विषम होती है।

=== ह्यूजेन्स विधि ===
तीन केंद्रों वाले वक्रों के लिए, ह्यूजेंस के अनुसार, निम्नलिखित प्रक्रिया में अलग-अलग त्रिज्याओं के चापों को समान कोणों के अनुरूप बनाकर उनका पता लगाना शामिल है, अर्थात 60 के कोण
एबी को उद्घाटन के रूप में और ओई को तिजोरी के तीर के रूप में, केंद्र ओ से, ओए को त्रिज्या के रूप में देखते हुए, हम चाप एएमएफ का वर्णन करते हैं, जिससे हम चाप एएम लेते हैं, जो परिधि के छठे हिस्से के बराबर है, और जिसकी जीवा है इसलिए त्रिज्या OA के बराबर है। इस जीवा AM और जीवा MF को खींचिए, फिर MF के समानांतर लघु अक्ष के अंत, बिंदु E से होकर Em को खींचिए।

AM और Em का प्रतिच्छेदन पहले चाप की सीमा m निर्धारित करता है। इस बिंदु m से होकर MO के समानांतर रेखा mP खींचने पर, बिंदु n और P वे दो केंद्र हैं जिनकी हम तलाश कर रहे हैं। तीसरा केंद्र n अक्ष OE से nO के बराबर दूरी n'O पर स्थित है। यह देखने के लिए चित्र का अध्ययन करना पर्याप्त है कि वृत्त के तीन चाप Am, mEm', m'B जो वक्र बनाते हैं, केंद्रों Anm, mPm' और m'n'B पर कोणों के अनुरूप हैं जो प्रत्येक के बराबर हैं अन्य और 60° के तीनों.

=== बॉसुट विधि ===
समान 3-केंद्र वक्र का पता लगाने के लिए चार्ल्स बॉसट द्वारा निम्नलिखित विधि तेज़ है।

एबी और ओई फिर से तिजोरी के उद्घाटन और तीर हैं, यानी वक्र की लंबी और छोटी धुरी का पता लगाया जाना चाहिए। हम AE से जुड़ते हैं और बिंदु E से हम EF' को OA-OE के बराबर मानते हैं, फिर हम AF' के मध्य m और बिंदुओं n और P से होकर एक लंब खींचते हैं, जहां यह लंबवत प्रमुख अक्ष और विस्तार से मिलता है लघु अक्ष, वे दो केंद्र हैं जिनकी हम तलाश कर रहे हैं
समान उद्घाटन और उत्थान के साथ, इस तरह से खींचा गया वक्र पिछले वाले से बहुत कम भिन्न होता है।

== तीन से अधिक केन्द्रों वाले वक्र ==
तीन से अधिक केंद्रों वाले वक्रों के लिए, बेयरार्ड, जीन-रोडोल्फे पेरोनेट, एमिलैंड गौथे और अन्य द्वारा बताई गई विधियों में, न्यूली-सुर-सीन|न्यूली ब्रिज के लिए, परीक्षण और त्रुटि द्वारा आगे बढ़ना शामिल था।

मनमाने डेटा के अनुसार पहले अनुमानित वक्र का पता लगाना, जिसके तत्वों को कम या ज्यादा कुछ सूत्रों का उपयोग करके ठीक किया गया था, ताकि वे प्रमुख और लघु अक्षों के छोर से बिल्कुल गुजर सकें।

=== माइकल विधि ===
श्री माइकल ने, 1831 में प्रकाशित एक पेपर में, प्रश्न को अधिक वैज्ञानिक तरीके से निपटाया, और 5, 7, और 9 केंद्रों के साथ वक्र बनाने के लिए आवश्यक डेटा वाली तालिकाएँ तैयार कीं, बिना परीक्षण और त्रुटि के, और पूर्ण सटीकता के साथ।

उनकी गणना पद्धति को किसी भी संख्या में केंद्र वाले वक्रों पर भी लागू किया जा सकता है।

चूँकि समस्या को अनिश्चित काल तक समाप्त करने के लिए जिन शर्तों को पूरा किया जाना चाहिए, वे आंशिक रूप से मनमानी हैं, श्री माइकल का प्रस्ताव है कि वक्र कभी-कभी समान कोणों को अंतरित करने वाले वृत्त के चापों से बने होते हैं, कभी-कभी समान लंबाई के चापों से बने होते हैं। चूँकि यह सभी त्रिज्याओं को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं है, वह यह भी मानता है कि प्रत्येक चाप की त्रिज्या इन चापों के केंद्र में वर्णित दीर्घवृत्त की वक्रता की त्रिज्या के बराबर है, जिसमें उद्घाटन प्रमुख अक्ष और आरोहण है। लघु अक्ष के रूप में
जैसे-जैसे केंद्रों की संख्या बढ़ती है, वक्र समान उद्घाटन और ढलान के साथ दीर्घवृत्त के करीब और करीब होता जाता है।

निम्नलिखित तालिका टोकरी-हैंडल आर्च के आरेखण को संदर्भित करती है जिसमें आर्क के उन हिस्सों द्वारा अंतरित कोणों की समानता होती है जिनसे यह बना है। यह पहली त्रिज्या के लिए जो आनुपातिक मान देता है, उसकी गणना इकाई के रूप में अर्ध-उद्घाटन का उपयोग करके की जाती है। ओवरहैंग पूरे उद्घाटन के लिए तीर का अनुपात है।
यह देखना आसान है कि आप बिना किसी शोध के पांच, सात या नौ केंद्रों पर किसी भी उद्घाटन के साथ टोकरी-हैंडल आर्क बनाने के लिए इस तालिका का उपयोग कैसे कर सकते हैं। एकमात्र आवश्यकता यह है कि गिरावट बिल्कुल श्री माइकल द्वारा भविष्यवाणी की गई गिरावट में से एक हो।

उदाहरण के लिए, मान लें कि हमें सात केंद्रों, 12-मीटर के उद्घाटन और 3-मीटर की ढलान के साथ एक वक्र बनाने की आवश्यकता है, जो एक चौथाई या पच्चीस-सौवें गिरावट से मेल खाती है। पहली और दूसरी त्रिज्याएँ 6 x 0.265 और 6 x 0.419, या 1.594 और 2.514 हैं।

यदि ABCD वह आयत है जिसमें वक्र अंकित किया जाना है, तो हम AB पर व्यास के रूप में एक अर्ध-परिधि का वर्णन करते हैं, इसे सात समान भागों में विभाजित करते हैं और जीवाएँ A, ab, bc, cd का पता लगाते हैं, जो कि आधे के अनुरूप होती है। -विभाजन।

एबी अक्ष पर, बिंदु ए से शुरू करते हुए, हम 1.590 मीटर के बराबर लंबाई लेते हैं और पहला केंद्र एम1 रखते हैं। इस बिंदु से होकर त्रिज्या Oa का एक समानांतर रेखा खींची जाती है, और वह बिंदु n जहां यह जीवा A से मिलता है, पहले चाप की सीमा है। बिंदु n से, हम 2.514 मीटर के बराबर लंबाई nm2 लेते हैं, और बिंदु m2 दूसरा केंद्र है। इस बिंदु m2 से हम त्रिज्या ओबी के समानांतर एक रेखा खींचते हैं, बिंदु n से जीवा ab के समानांतर एक रेखा खींचते हैं, और इन दो समानांतरों का प्रतिच्छेदन बिंदु n' दूसरे चाप की सीमा है। फिर, बिंदु n' से होकर, हम जीवा bc के समानांतर एक रेखा खींचते हैं, और बिंदु E से होकर, जीवा cd के समानांतर एक रेखा खींचते हैं।
अंत में, इन दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु n'' पर, त्रिज्या Oc और बिंदुओं m3, m4 के लिए एक समानांतर रेखा खींची जाती है, जहां यह त्रिज्या n'm2 के विस्तार को प्रतिच्छेद करती है। ऊर्ध्वाधर अक्ष का विस्तार तीसरा और चौथा केंद्र देता है। अंतिम तीन केंद्र m5, m6 और m7 पहले तीन m1, m2 और m3 के संबंध में सममित हैं
जैसा कि चित्र से पता चलता है, चाप An, nn', n'n'', आदि समान केंद्र कोणों और da 51° 34' 17" 14 के अनुरूप हैं। इससे भी अधिक, यदि हम निर्माण करें AB और OE को प्रमुख और लघु अक्षों के साथ एक अर्ध-दीर्घवृत्त, इस अर्ध-दीर्घवृत्त के चाप, वृत्त के चापों के समान कोणों के भीतर समाहित होते हैं, उनके केंद्र में वक्रता की त्रिज्या त्रिज्या के बराबर होगी उत्तरार्द्ध.

इस विधि का उपयोग करके पाँच, सात और नौ केंद्रों वाले वक्रों का निर्माण समान आसानी से किया जा सकता है।

=== लेरूज विधि ===
मिस्टर माइकल के बाद, इस विषय को फिर से मिस्टर ने उठाया। लेरौज, मुख्य अभियंता
हालाँकि, उनकी गणना इस शर्त पर आधारित है कि क्रमिक त्रिज्याएँ अंकगणितीय प्रगति के अनुसार बढ़ती हैं, भले ही उनके बीच बनने वाले कोणों की समानता कुछ भी हो।



=== ग्रंथ सूची ===

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वास्तुकला
ज्यामितीय केंद्र
वक्र
ज्यामिति
पुल
मेहराबदार पुल