कार्मन-मूर सिद्धांत ⇐ ड्राफ्ट लेख

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'''कर्मन-मूर सिद्धांत''''''''कार्मन-मूर सिद्धांत''' एक पतले शरीर पर सुपरसोनिक प्रवाह के लिए एक रैखिक सिद्धांत है, जिसका नाम थियोडोर वॉन कार्मन और नॉर्टन बी. मूर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1932 में सिद्धांत विकसित किया था।वॉन कर्मन, टी ., और मूर, एन.बी. (1932)। प्रोजेक्टाइल के विशेष संदर्भ में, सुपरसोनिक वेग से चलने वाले पतले पिंडों का प्रतिरोध। अमेरिकन सोसाइटी ऑफ मैकेनिकल इंजीनियर्स के लेनदेन, 54(2), 303-310।वार्ड, जी.एन. (1949)। पतले नुकीले पिंडों के पार से सुपरसोनिक प्रवाह। यांत्रिकी और अनुप्रयुक्त गणित का त्रैमासिक जर्नल, 2(1), 75-97। सिद्धांत विशेष रूप से, तरंग कर्षण के लिए एक स्पष्ट सूत्र प्रदान करता है, जो गतिमान शरीर की गतिज ऊर्जा को पीछे की ओर जाने वाली ध्वनि तरंगों में परिवर्तित करता है। शरीर।
==गणितीय विवरण==
आगे और पीछे नुकीले किनारों वाले एक पतले शरीर पर विचार करें। इस पिंड से गुजरने वाला सुपरसोनिक प्रवाह लगभग हर जगह x-अक्ष के समानांतर होगा क्योंकि बनने वाली शॉक तरंगें (एक अग्रणी किनारे पर और एक ट्रैलिग्न किनारे पर) कमजोर होंगी; परिणामस्वरूप, प्रवाह हर जगह संभावित होगा, जिसे वेग क्षमता \phi' = xv_1 + \phi का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, जहां v_1 आने वाली समान वेग है और \phi एकसमान प्रवाह से छोटे विचलन की विशेषता बताता है। रैखिककृत सिद्धांत में, \phi संतुष्ट करता है

:\frac{\partial^2\phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2\phi}{\partial z^2} - \beta^2 \frac{\partial^ 2\phi}{\आंशिक x^2} =0,

जहां \beta^2=(v_1^2-c_1^2)/c_1^2=M_1^2-1, c_1 आने वाले प्रवाह में ध्वनि की गति है और M_1 आने वाले प्रवाह की मच संख्या है। यह केवल द्वि-आयामी तरंग समीकरण है और \phi एक स्पष्ट समय x/v_1 और एक स्पष्ट वेग v_1/\beta< के साथ प्रसारित एक विक्षोभ है /गणित>.

मान लीजिए मूल बिंदु (x,y,z)=(0,0,0) नुकीले शरीर के अग्रणी छोर पर स्थित है। इसके अलावा, S(x) को क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र (x-अक्ष के लंबवत) और l को पतले की लंबाई होने दें शरीर, ताकि S(x)=0 के लिए x1 के लिए। बेशक, सुपरसोनिक प्रवाह में, गड़बड़ी (यानी, \phi) को केवल मैक तरंग | मैक शंकु के पीछे के क्षेत्र में प्रचारित किया जा सकता है। अग्रणी किनारे के लिए कमजोर मच शंकु x-\beta r=0 द्वारा दिया जाता है, जबकि अनुगामी किनारे के लिए कमजोर मच शंकु x-\beta r = l< द्वारा दिया जाता है /math>, जहां r^2=y^2+z^2 x-अक्ष से वर्ग रेडियल दूरी है।

शरीर से दूर की अशांति एक बेलनाकार तरंग प्रसार की तरह है। शंकु x-\beta r=0 के सामने, समाधान केवल \phi=0 द्वारा दिया जाता है। शंकु x-\beta r = 0 और x-\beta r = l के बीच, समाधान Landau, L. D. द्वारा दिया गया है। और लाइफशिट्ज़, ई.एम. (2013)। द्रव यांत्रिकी: लैंडौ और लाइफशिट्ज़: सैद्धांतिक भौतिकी का पाठ्यक्रम, खंड 6 (खंड 6)। एल्सेवियर। धारा 123. पृष्ठ 123-124

:\phi(x,r) = - \frac{v_1}{2\pi}\int_0^{x-\beta r} \frac{S'(\xi)d\xi}{\sqrt{ (x-\xi)^2-\beta^2r^2

जबकि शंकु के पीछे x-\beta r = l, समाधान
द्वारा दिया गया है
:\phi(x,r) = - \frac{v_1}{2\pi}\int_0^{l} \frac{S'(\xi)d\xi}{\sqrt{(x-\ xi)^2-\beta^2r^2.

ऊपर वर्णित समाधान सभी आर के लिए सटीक है पतला शरीर एक ठोस या क्रांति है। यदि यह मामला नहीं है, तो समाधान बड़ी दूरी पर मान्य है, इसमें शॉक प्रोफ़ाइल के गैर-रेखीय विरूपण से जुड़ा सुधार होगा, जिसकी ताकत आनुपातिक है (M_1-1)^{1/8}r^ {-3/4} और आकार फ़ंक्शन S(x) के आधार पर एक fcator।व्हिटहैम, जी.बी. (2011)। रैखिक और अरेखीय तरंगें. जॉन विली एंड संस। पृष्ठ 335-336.

ड्रैग (भौतिकी)|ड्रैग फोर्स F केवल x है - प्रति समय संवेग का घटक। इसकी गणना करने के लिए, एक बड़ी त्रिज्या वाली और x-अक्ष के अनुदिश एक अक्ष वाली एक बेलनाकार सतह पर विचार करें। इस सतह से गुजरने वाला संवेग प्रवाह घनत्व बस \Pi_{xr}=\rho v_r (v_1+v_x)\approx \rho_1 (\partial\phi/\partial r)(v_1+\partial\phi/) द्वारा दिया जाता है \आंशिक x). \Pi_{xr} को बेलनाकार सतह पर एकीकृत करने से कर्षण बल मिलता है। समरूपता के कारण, एकीकरण पर \Pi_{xr} में पहला पद शून्य देता है क्योंकि माना गया बेलनाकार सतह पर शुद्ध द्रव्यमान प्रवाह \rho v_r शून्य है। दूसरा पद गैर-शून्य योगदान देता है,

:F = -2\pi r \rho_1 \int_{-\infty}^\infty \frac{\आंशिक \phi}{\आंशिक r}\frac{\partial\phi}{\आंशिक x} dx .

बड़ी दूरी पर, मान x-\xi \sim \beta r (तरंग क्षेत्र) \phi के समाधान में सबसे महत्वपूर्ण हैं; ऐसा इसलिए है क्योंकि, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, \phi एक समान विक्षोभ है जो v_1/\beta गति के साथ स्पष्ट समय x/v_1 के साथ फैल रहा है। . इसका मतलब यह है कि हम हर में अभिव्यक्ति को (x-\xi)^2-\beta^2r^2\approx 2\beta r (x-\xi-\beta r) के रूप में अनुमानित कर सकते हैं। फिर हम लिख सकते हैं, उदाहरण के लिए,

:\phi(x,r) = - \frac{v_1}{2\pi\sqrt{2\beta r\int_0^{x-\beta r} \frac{S'(\xi)d\ xi}{\sqrt{x-\xi-\beta r = - \frac{v_1} )ds}{\sqrt{s, \quad s=x-\xi-\beta r, \,\,r\gg 1.

इस अभिव्यक्ति से, हम \partial\phi/\partial r की गणना कर सकते हैं, जो -\beta\partial\phi/\partial x के बराबर भी है क्योंकि हम इसमें हैं तरंग क्षेत्र. इंटीग्रल के सामने आने वाले कारक 1/\sqrt r को विभेदित करने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि यह 1/r के आनुपातिक छोटे सुधार को जन्म देता है। विभेदन को प्रभावित करते हुए और मूल चर पर वापस लौटते हुए, हम पाते हैं

:\frac{\आंशिक \phi}{\आंशिक r} = -\beta \frac{\आंशिक \phi}{\आंशिक x}= \frac{v_1}{2\pi}\sqrt{\frac {बीटा}{2r\int_0^{x-\beta r} \frac{S''(\xi)d\xi}{\sqrt{x-\xi-\beta r.

इसे ड्रैग फोर्स फॉर्मूला में प्रतिस्थापित करने से हमें
मिलता है
:एफ = \frac{\rho_1 v_1^2}{4\pi} \int_{-\infty}^\infty \int_0^X \int_0^X \frac{S''(\xi_1)S' '(\xi_2) d\xi_1d\xi_2dX}{\sqrt{(X-\xi_1)(X-\xi_2), \quad X=x-\beta r.

इसे X पर एकीकरण करके सरल बनाया जा सकता है। जब एकीकरण क्रम बदला जाता है, तो X की सीमा \mathrm{max}(\xi_1,\xi_2) से L\to\infty< तक होती है /गणित>. एकीकरण पर, हमारे पास
है
:एफ = - \frac{\rho_1 v_1^2}{2\pi} \int_0^l \int_0^{\xi_2} S''(\xi_1)S''(\xi_2)[\ln( \xi_2-\xi_1)-\ln 4L]d\xi_1d\xi_2.

L पद वाला अभिन्न अंग शून्य है क्योंकि S'(0)=S'(l)=0 (बेशक, S(0) के अलावा) =एस(एल)=0).

तरंग कर्षण बल के लिए अंतिम सूत्र को
के रूप में लिखा जा सकता है
:एफ = - \frac{\rho_1 v_1^2}{2\pi} \int_0^l \int_0^{\xi_2} S''(\xi_1)S''(\xi_2)\ln(\ xi_2-\xi_1)d\xi_1d\xi_2,

या

:F = - \frac{\rho_1 v_1^2}{2\pi} \int_0^l \int_0^{l} S''(\xi_1)S''(\xi_2)\ln|\xi_2 -\xi_1|d\xi_1d\xi_2.

फिर ड्रैग गुणांक
द्वारा दिया जाता है
:C_d = \frac{F}{\rho_1^2 v_1^2 l^2/2}.

चूँकि F\sim \rho_1 v_1^2 S^2/l^2 जो C_d \sim S^2/l^4 द्वारा दिए गए सूत्र का अनुसरण करता है, जो दर्शाता है कि ड्रैग गुणांक क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र के वर्ग के समानुपाती होता है और शरीर की लंबाई की चौथी शक्ति के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

दिए गए आयतन वी और लंबाई एल के लिए सबसे छोटी तरंग कर्षण वाली आकृति तरंग कर्षण बल सूत्र से प्राप्त की जा सकती है। इस आकृति को सियर्स-हैक बॉडी के रूप में जाना जाता है।हैक, डब्ल्यू. (1941)। गेस्कोसफॉर्मेन क्लेनस्टेन वेलएनवाइडरस्टैंड्स। बेरीच्ट डेर लिलिएनथल-गेसेलशाफ्ट, 136(1), 14-28.सियर्स, डब्ल्यू.आर. (1947)। न्यूनतम तरंग कर्षण वाले प्रक्षेप्यों पर। अनुप्रयुक्त गणित की त्रैमासिक, 4(4), 361-366।

द्रव गतिकी